¿Los sistemas políticos modernos aseguran que la corte no sea controlada por el gobierno? ¿Si es así, cómo?

Si y no.

Reformularía la pregunta como: en un sistema tripartito de democracia, ¿es el poder judicial independiente de las otras dos ramas del gobierno?

No, en el sentido de que los nombramientos al Poder Judicial generalmente son hechos por el Ejecutivo y aprobados por la Legislatura. El Ejecutivo, en particular en los Estados Unidos, tiende a nombrar jueces cuyas filosofías coinciden con la administración gobernante. Por lo tanto, tenemos conservadores (republicanos) y liberales (demócratas) en la Corte Suprema. En otros países donde las filosofías personales no son claras y operativas, los jueces generalmente están en deuda con el poder de nombramiento.

Sí, en ese sentido, los jueces son nombrados de por vida (o hasta la edad de jubilación) y son libres de emitir juicios que, por lo tanto, teóricamente están libres de cualquier tipo de influencia económica o política.

Los tribunales son parte del gobierno. Sus juicios se basan, por regla general, en la ley vigente. Como Estados Unidos es una República Constitucional, la Corte Suprema puede determinar si una ley es realmente “Constitucional”.
Así surgieron decisiones como “Roe vs Wade”. O que las leyes que limitaban las donaciones políticas violaban la regla de “libertad de expresión” de la Primera Enmienda. Otros países con diferentes diseños de gobierno operan de manera diferente. Los sistemas parlamentarios combinan lo legislativo con lo ejecutivo. En algunos países, los tribunales no pueden anular la legislación porque no tienen una Constitución escrita como nosotros.

En los gobiernos occidentales, el sistema judicial es parte del gobierno, por lo que no.