¿Qué rama de la ONU tiene la mayor influencia?

Depende un poco de lo que quieras decir. El Consejo de Seguridad está encargado de tomar decisiones colectivas sobre la guerra y la paz, por lo que, en cierto sentido, es claramente el órgano más influyente, como han señalado las otras respuestas. Pero encuentro esa respuesta un poco insatisfactoria, porque el poder del Consejo de Seguridad es menos un poder de la ONU como institución, y más un poder derivado de las identidades de los miembros del Consejo de Seguridad. Juntos, los miembros del Consejo de Seguridad controlan una gran mayoría del poder militar y económico del mundo, y casi todo una vez que se agregan los aliados y los estados clientes de los miembros del Consejo de Seguridad. Con o sin la existencia de las Naciones Unidas, cualquier política acordada por los Estados Unidos, China, Rusia, Francia y el Reino Unido sería una política con una excelente posibilidad de implementación.

Una pregunta más interesante sería cuál de los órganos de la ONU tiene más influencia en los asuntos mundiales, independientemente de las políticas de los estados miembros específicos. Esta es una pregunta difícil ya que la ONU, como organización internacional, se formó para servir a los estados miembros, no al revés. Aún así, cualquier organización tiene algún poder inherente, y algunos órganos de la ONU están más directamente sujetos a los estados miembros que otros. Entonces … ¿qué organismos de la ONU tienen la mayor capacidad para influir en los asuntos mundiales por derecho propio?

Sugeriría la Corte Internacional de Justicia, el órgano judicial de la ONU. Se rige sobre las disputas entre los estados miembros. Como cualquier buen tribunal, sus jueces son nombrados por las autoridades políticas (en este caso, el Consejo de Seguridad y la Asamblea General), pero sus decisiones son independientes. Además, los fallos son definitivos, y si bien ha habido un puñado de casos en los que los estados optaron por ignorar un fallo, aparentemente esta es la excepción más que la norma. (Ver Cumplimiento de las decisiones de la Corte Internacional de Justicia).