Es todo lo contrario, en realidad.
La influencia de los Estados Unidos ha aumentado sustancialmente bajo Obama después de que Bush derrochó la buena voluntad de los Estados Unidos a nivel mundial con invasiones, torturas, entregas ilegales y encarcelamiento ilegal de sospechosos.
Obama recuperó la mayoría de esas cosas, mostró a Estados Unidos con una cara internacionalmente identificable en lugar de otro viejo hombre blanco y emprendió un encanto global y una ofensiva comercial que ha dejado a los Estados Unidos con tanta influencia suave como siempre.
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Obama ha sido mucho más multilateral en sus proyecciones de la fuerza estadounidense, consolidando los lazos militares que unen.
Claro, se puede decir que algunos países se han hundido en términos de cuánta influencia tiene Estados Unidos en el terreno. Podría decirse que Siria es uno de ellos, pero eso se debe a que Siria es un desastre caótico. Tal vez Rusia, pero sería difícil decir que Bush tuvo más influencia sobre Putin que Obama.
La pregunta parece estar un poco sesgada, ya que no está preguntando qué regiones del mundo vieron los mayores cambios en la influencia de Estados Unidos sobre la administración de Obama, sino que presume que Estados Unidos solo perdió influencia.