¿Por qué POTUS llega a proponer legislación? No está en su descripción de trabajo del Artículo 2.

1. Las propuestas legislativas del Presidente son meras ideas y no tienen fuerza de ley. El Congreso no tiene la obligación de respetar, considerar, actuar, leer o abstenerse de reírse de cualquier legislación que proponga el Presidente.
2. En cuanto a por qué está permitido, la clave es la 1ra Enmienda:

El Congreso no promulgará ninguna ley que respete el establecimiento de una religión o prohíba el libre ejercicio de la misma; o restringir la libertad de expresión, o de prensa; o el derecho de las personas a reunirse pacíficamente y a solicitar al Gobierno una reparación de agravios.

Primera enmienda a la Constitución de los Estados Unidos – Wikipedia

Como tal, es ilegal que el Congreso apruebe una ley que prohíba al Presidente, o cualquier otro ciudadano, proponer leyes, ejercer su derecho a la libertad de expresión, hablar con la prensa (con algunas restricciones), reunirse o solicitar al Gobierno por una reparación de agravios.

Esa última cláusula lo deja claro: sería inconstitucional que el Congreso infringe el derecho del Presidente a solicitarles reparación.

Dicho esto, el Congreso es libre de ignorar las peticiones de cualquiera, si así lo desean. La voz del presidente puede ser más escuchada, pero sus peticiones y propuestas no tienen poder para obligar a la acción del Congreso.

El Presidente tiene poderes informales que se extienden más allá de los formales y enumerados. Una de las cualidades más útiles de la oficina se deriva del hecho de que todo lo que dice el Presidente es de interés periodístico; todo lo que dice se distribuye a través de la prensa, los medios de difusión, etc. Eso significa que, como cualquier otra persona, puede hablar y decir que debería aprobarse una ley sobre cualquier tema en particular. A diferencia de cualquier otra persona, puede estar seguro de que los miembros del Congreso lo escucharán.

Pero sus propuestas son solo palabras. En realidad, no puede presentar proyectos de ley para su consideración en el Congreso, más de lo que usted o yo podríamos. Puede comunicar sus intenciones, opiniones y conocimientos, pero no puede obligar al Congreso a hacer nada.

No, no está iterado en la Constitución. ¿Te refieres a las órdenes ejecutivas? A los que puede producir tan rápido como quiera. Como Trump ha aprendido, por supuesto, todos pueden ser rescindidos por un juez, incluso si ella se encuentra en medio del Océano Pacífico.