Lógica versus creencias, ¿cuál es más significativo?

Ninguno de los dos.

Las creencias sin ningún apoyo empírico pueden ser útiles (ayudan en ciertos momentos de la vida) pero no tienen ningún sentido en términos de coincidencia con la realidad.

La lógica es mal entendida: es solo un mecanismo para sacar conclusiones de las premisas iniciales. Pero si las premisas están mal, entonces las conclusiones también están mal. Entonces, la lógica no tiene sentido o sentido “per se”, es solo un método correcto de pensar, pero sin validación, puede estar tan separado de la realidad como las creencias.

El método científico agrega una capa de experimentación empírica tanto a las premisas como a las conclusiones para validar si las “teorías” coinciden con la realidad. Si es así, se vuelven útiles para predecir el futuro y comprender el pasado. Pero, incluso entonces, continúan mejorando para adaptarse mejor a la realidad.

No tienen que competir.

La experiencia más bella y profunda es la sensación de lo místico. Es el sembrador de toda ciencia verdadera. Aquel a quien esta emoción es un extraño, que ya no puede maravillarse y quedar maravillado, es tan bueno como muerto. Saber que lo que es impenetrable para nosotros realmente existe, manifestándose como la más alta sabiduría y la belleza más radiante que nuestras facultades aburridas pueden comprender solo en sus formas primitivas: este conocimiento, este sentimiento está en el centro de la verdadera religiosidad.
( Albert Einstein – La fusión del espíritu y la ciencia)

No puedo mejorar la respuesta de Sergi Casas, pero esto podría ilustrar una diferencia.

Lógica. “Me doy cuenta de que has estado robando los bizcochos” es una declaración basada en evidencia reunida por observación, luego integrada con la experiencia. Sé lo que es robar. Te vi haciéndolo, mi amigo fue testigo y tenemos evidencia fotográfica que convencerá a un tribunal.

Creencia. “Creo que has estado robando las galletas” es una declaración que deja lugar a dudas. No he observado el acto, no tengo pruebas. Mi intuición dice que sí, así que creo que podría haberlo hecho. Sin evidencia, sigue siendo una creencia que existe solo en mi mente. No resistirá en la corte.

Sé cuál es más significativo en esa situación.

La información fáctica es probablemente más significativa que ambas, en términos de tener un valor práctico. La lógica es la mejor para escribir código de computadora.

Depende de la meta. La lógica es buena para tomar decisiones y evaluar objetivamente la realidad. Las creencias son buenos motivadores, aunque pueden no alinearse con la realidad.