¿Por qué los países de todo el mundo permiten bases estadounidenses en su territorio?

Porque perdieron.

Sí, lo sé, la ocupación terminó hace mucho tiempo, pero por eso Japón permitió a Estados Unidos construir bases militares en primer lugar: tenían muy pocas opciones. Incluso cuando las relaciones se descongelaron, Estados Unidos y otros antiguos países aliados se mostraron muy reacios a permitir que esos países se volvieran a armar, lo que significaba que las bases militares extranjeras eran la única forma de proteger a esos países. De hecho, la constitución de Japón (escrita después de la rendición, bajo supervisión estadounidense) les prohíbe formar fuerzas armadas capaces de proyectar fuerza en el extranjero. El ejército de Japón está designado como “fuerzas de autodefensa” por esa misma razón. Estados Unidos gasta enormes cantidades de dinero en mantener esas bases, pero Japón, a cambio, sabe que China, Corea del Norte y cualquier otro posible combatiente se mantendrían lejos como resultado.

Alemania, después de la Guerra Fría, no depende tanto de las fuerzas estadounidenses para defenderse, pero aún así se benefician de ello. Además, exigir que Estados Unidos se vaya en este punto causaría repercusiones políticas internacionales bastante severas. Nadie está suficientemente decidido a hacer que eso suceda.

Al menos en Alemania, las regiones donde están estacionados los soldados estadounidenses se han beneficiado mucho económicamente de su presencia.

Además (e incluso más importante): en general, no se los considera ocupantes, sino amigos. Especialmente las personas que eran niños pequeños al final de la Segunda Guerra Mundial te contarán historias de cuánto amaban a los soldados estadounidenses, que les darían chocolate y chicle. Y, por supuesto, trajeron consigo Jazz y más tarde Rock’n’Roll y un estilo de vida más relajado en general.

Vivo en una región de Alemania donde están estacionados soldados británicos. Ahora se están yendo del país y el sentimiento general era tristeza, en ambos lados.

Añadiría una cosa a las respuestas de P. Koloczek y E. Trimble.
Algunos de esos países redujeron los presupuestos de defensa hasta tal punto que su capacidad de defenderse ahora está en duda. Por ejemplo, todo el Heer alemán (fuerzas terrestres) tiene solo 6 brigadas del ejército y 2 brigadas aerotransportadas ahora. En comparación, los polacos tienen 10 brigadas del ejército + 2 aerotransportadas, y Rusia: 24 brigadas del ejército solo en la parte europea del país.
Por lo tanto, parece que estacionar unidades del ejército de EE. UU. Puede ser una forma relativamente barata para que estas personas tengan algún tipo de protección militar.

En la era actual, es casi siempre porque el gobierno anfitrión los quiere. Estados Unidos ha desocupado algunas instalaciones militares bastante importantes cuando eso no ha sido cierto. Esto no quiere decir que no haya minorías sustanciales que se opongan a las bases en algunos casos notables.